Alle ungeraden Zahlen z lassen sich durch mindestens eine Quadratdifferenz darstellen:

( Z+1 ) geteilt durch 2 [aslso z.b fünf Hasenohren brauchen noch eins, um standardisert auf drei Schokoladenosterhasen verteilt zu werden)

zum Quadrat 

MINUS

( Z - 1) geteilt durch 2 [also z.B. wenn man kein Schokoladenohr mehr hat oder keine drei Hasen, nimmt man nur die zwei zweiohrigen Hasen und futtert das überflüssige Schokoohr oder Ringelblumenheuohr schnell auf

Also für unser Beispiel: 5 plus 1 = 6 ; geteilt durch 2 ist gleich 3. 5 minus 1 = 4; geteilt durch 2 ist gleich 2.

Also:

3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5 

Die dritte binomische Formel sagt dann, dass 5 durch 5 und durch 1 geteilt werden kann (naja, wer hätte das gedacht!)

Mit der Formel:

3^2 - 2^2 = (3-2)*(3+2) = 1*5

Für alle ungeraden Zahlen, auch für Primzahlen, gibt es also so eine Darstellung über QUadratdifferenzen, bei der die Quadrate sich genau um EINS unterscheiden. 

7 z.B.: (8/2)^2 - (6/2)^2 = 4^2 - 3^2 = 1*7

Die Menschen nennen es dritte binomische Formel - die Pharaonenkaninchen nannten es Pyramide:

Bzw. PYRAMIDENSPITZE!

Denn die Pyramide entwickelt sich ausgehend von den zwei 'begradigten' Hälften links und rechts auseinander (aufsteigend und absteigend), und bildet so die Vielfachen der Pyramdienspitzenzahl bis zu ihrem Quadrat:

Beispiel 15:

15+1 = 16; 16/2 = 8

Also 8^2 -7^2 = 15 (stimmt, denn 8+7= 15 und 8-7 = 1)

Jetzt bauen wir unter der Spitze "15" eine Pyramide, indem wir die 8 nach oben entwickeln und die 7 nach unten bis zur 1 - Durch die Abwärtsentwicklung ab der 7 bis zur 0 hat die Pyramide ein definiertes Ende:

                                                                    8^2-7^2                                           = 15*1 = 15

                                                                9^2   -     6^2                                       = 15*3 = 45

                                                          10^2       -         5^2                                   = 15*5 = 75

                                                     11^2            -             4^2                               = 15 * 7 = 105

                                                 12^2                -                 3^2                           = 15* 9  = 135

                                              13^2                   -                     2^2                        = 15 * 11 = 165

                                           14^2                      -                         1^2                    = 15 * 13 = 195

                                         15^2                        -                               0                  = 15 * 15 = 225

Da die Pyramidenspitze mit den zwei geraden 'Hälften' von 15 begann, entwickelt sie sich gleichmäßig bis die Basiszahlen 14 und 1 lauten. Alle Basen ergeben zudem natürlich 15 als Summe:

8+7

9+6

10+5

11+4

12+3

13+2

14+1

Das bedeutet, wenn man die Quadratdifferenzen nach der dritten binomischen Formel auflöst, 

hat man bei dem PLUS-Term immer 15, bei dem MINUS-Term aber ALLE UNGERADEN ZAHLEN, die kleiner sind als die Zahl selbst

Wenn wir nun die Pyramidenspitzen aneinanderreihien und unter ihnen die passenden Vielfachen-pyramiden aufbauen, erhalten wir eine übersichtliche, quasi bereits in Faktoren zerlegte Struktur der Menge der ungeraden Zahlen ( Zahlen mit ausschließlich ungeraden Teilern). 

Primzahlen sind dann genau die Zahlen, die NUR als Pyramidenspitze vorkommen. 

Für alle anderen ungeraden Zahlen gilt, dass sie irgendwo unterhalb einer Pyramidenspitze als Vielfaches ihrer Teile vorkommen. 

Da die Pyramiden regelmäßig aufgebaut sind und die Quadrtdiifferenzen ebenfalls berechenbare EIgenschaften besitzen, ist der pyramidale Aufbau der ungeraden Zahlen ein vielversprechendes Hilfsmittel, um das Vorkommen von Primzahlen zu systematisieren.

          2^2 - 1      3^2 - 2^2   4^2 - 3^2   5^2 - 4^2    6^2 - 5^2     7^2 - 6^2      8^2 - 7^2      9^2-8^2

              3                5               7                 9                  11             13                15                17

          3^2  -  ß     4^2 - 1^2    5^2  - 2^2

                                15             21

                            5^2 - 0        6^2 -- 1^2

                                 25            35

                                                7^2   - 0     usw