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Die eigentliche 'Sensation' der nachfolgenden Überlegungen ist die Reduzierbarkeit der Quadratdifferenz auf eine lineare Funktion.
Und zwar gilt, dass eine nach dem Schema (4*(i+x) -1)^2 - (4*(j+x)+2)^2 = za analysierte Zahl za Element des Bildes einer linearen Funktion f(x) = m*x +t ist mit m= 32*(i-j) - 24 ( der Differentialquotient der Quadratdifferenz differenziert nach x) und t= za (f(0). Für alle Funktionswerte gilt, dass sie zerlegbar sind mit Hilfe der dritten binomischen Formel angewandt auf die entsprechende Quadratdifferenz.
(C) Dr. Ulrike Ritter (und wir die gtHasis natürlich)!
Hier als Beispiel das Programm für den Zahlentyp 8*v - 3 = za
Das Prinzip ist ganz einfach, dass man das Vielfache (v) von 8 einer Zahl so vergrößert, dass man am Beginn einer Reihe von Achtervielfachen aller vier Typen die Erhöhungsdifferenz wieder über ein Quadrat darstellen kann und abziehen. Die Vergrößerung hat ebenfalls das Ziel, ein Quadrat zu erzeugen, dass über der Zahl liegt, sodass die Differenz von oberem und unteremQuadrat der Zahl entspricht. Dann kann man mit der 3. binomischen Formel die Zahl faktorisieren.
Die möglichen Differenzen lassen sich nicht nur durch den Typus des Achgtervielfachen einschränken, sondern die jeweiligen Vielfachen lassen sich auch direkt in Quadratzahlen umrechnen und über ein typspezifisches Reihengesetz ausrechnen.
Zudem lassen sich die Ergebnisse in lineare Funktionen umwandeln, durch die auch sehr hohe Zahlen auf passende Differenzen geprüft werden können.
Man schiebt dann quasi einen Differenzwert, der Teiler in Bezug auf Zahlentypen repräsentiert, einfach nach oben. Das ist im unteren Teil des Programms erklärt.
Wesentliche und neue Gleichungen für die Methode sind z.B. für den Zahlentyp v8 -3 :
V8 = 2*i^2 - i
und wie hier ebenfalls verwendet für v8 +3 Zahlen (hier die unteren Quadrate):
V8 = 2*j^2 + 2j
Die Umwandlung in Quadratbasen für die dritte binomische Formel hat für das obere Quadrat wegen des 8v-3 Typs hier die Form: 4*i -1
und für das untere Quadrat wegen des 8v+3 Typs die Form: 4*j + 2
Die Gleichungen für v8 +1 und v8 -1 sind ebenfalls bereits definiert, können aber wegen wissenschaftlicher Ansinnen und zur Wahrung eigener Urheberrechte hier noch nicht publiziert werden.
#ma = int(input("ma: "))
#mo = int(input("mo: "))
m = int(input("m: "))
b = int(input("b: "))
a=0
for a in range(0, b):
#for m in range(ma, mo):
za= m*8 - 3
mVmod = m % 4
mVdiv = (m- mVmod)/4
mV4sum = 2*mVdiv
mrad=int(m**0.5)
i=0
#if ((v > m or v== m) and u > diffzneu):
#teste ob Z(-3) Gleichung ganzzahliges i ergibt
D = 1+8*m
i = 0.25 + 0.25* D**0.5
#print("21 za, m, i", za, m, i)
i= int(i) + a
v8i = (2*i**2 - i)
Diff = (v8i - m)
while Diff < 0:
i =i+1
v8i = (2*i**2 - i)
Diff = (v8i - m)
if Diff > 0 or Diff == 0:
break
#print("31 i, v8i, m, Diff", i, v8i, m, Diff)
#Z-Typ der Diff sollte +3 sein, hier angenommen
D = 4 + 8*Diff
j = -0.5 + 0.25* D**0.5
#print("36 za, m, i, Diff, D, j", za, m, i, Diff, D, j)
jmod = j*10 % 10
if jmod == 0:
qo = i*4 - 1
qu = j*4 + 2
zatest = qo**2 - qu**2
#print("42 zatest, za, qo, qu", zatest, za, qo, qu)
if za == zatest:
f1 = qo + qu
f2 = qo - qu
print("44 Bingo za, qo, qu, f1, f2, zatest, i,j", za, qo, qu, f1, f2, zatest, i,j)
Zu den linearen Funktionen auf Basis einfacher Beispiele für die Differenzen:
#fkt(-3i=6, +3j=5, 26=m, 23-18, a gleichförmige Erweiterung von i und j) = 40*a + 205
#Also wenn eine Zahl = 40*x + 205 = Quaddiff = ((6+a)*4 - 1)^2 - ((4+a)*4 + 2)^2 und Faktoren mit der dritten binomischen Formel
#Beispiel = 885 = 40*x + 205 = ((6 + 17)*4 - 1)^2 - ((4 + 17)*4 + 2)^2= 91^2 - 86^2 = 177 * 5
#Aus den Transformationen lassen sich also für alle binomischen Darstellungen auch linerare Verallgemeinerungen ableiten.
#Diese linearen Funktionen haben zahlentyp-spezifische Koeffizienten, d.h. z.B. bei 8*x -3 Zahlen wie 205 haben die gesuchten
#unteren Quadrate den Typ v8+3 und damit die Form 2*j^2 + 2j wie im Beispiel hier die 40 mit j = 4 und 40 = 2*j^2 + 2*j.
#Die nächste Differenz wäre 60, aber da damit schon der triviale Fall von 23^2 - 22^2 erreicht wäre, richtig für x =0: 60*x + 25-
#Interessant wäre dagegen die nächstkleinere Differenz von 24 bei j =3 Mit j = 3 ist das untere Quadrat gleich 14^2 = 196
#und das obere wie gehabt 23^2.
#Wegen des spezifischen Zahlentyps der Differenz entsteht wieder eine -3 Zahl:
#23^2 - 14^2 = 333 = 42*8-3, mit ihr die lineare Funktion 24*x + 333 für höhere Zahlen des Typs,
#die dann nach dem Schema ((6 + x)*4 - 1)^2 = qo^2 und (3 + x)*4 + 2)^2 = qu^2 sofort faktorisiert werden können.
#Für jedes obere Quadrat wie hier die 23 lassen sich die entsprechenden Differenzen zu den darunterliegenden Quadraten
#zahlentypisch definieren, sodass sich damit höhere Quadratoperationen, die durch (i + x) darstellbar sind,
#erübrigen.
#Der große Vorteil ist, dass das klassische Pascal-Verfahren jetzt nicht mehr als Qudratdifferenz ausgerechnet werden muss,
#sondern eine lineare Funktion mit praktisch kleinem Steigungsfaktor der richtigen Form und einem T des richtigen Typs ausreicht,
#um über x mit i+x wie erläutert beliebig hohe obere und untere Quadrate zu erreichen. Das x kann als einzige Variable dann
#natürlich auch noch berechnet werden.
break
LOVE
gebloggt von:
Adventi, Ägyptisch-griechische Kaninchengöttin und Lebensgefährtin des Omitrons, Miri Sportskanönchen und Bloggerin, Flora Luminis, Ever-Winning-Showjumperin und Nachlebensgenie, Pluppsi Plural, Supporterin und Muse, die anderen Kaninchenberühmtheiten, das Guineapig-Team, Colo Sportspringpferd und verfressenes *Knuddelbärchen* und das Omitron.
(Schon der neunjährigen Hasijomin fälschten intrigante Repräsentanten der KaltenKriegsPolitik die MatheEinser aus dem Zeugnis ( sie hatte eh einen Mathewettbewerb gewonnen), weil entfernte Verwandte als links angehaucht galten. Wir freuen uns alle, dass das Omitron dennoch die Pfoten fest um das goldene Ei der Mathe geschlossen hielt und jetzt das Sortier- / Darstellungs- und Intuitionsprojekt formal-rechnerische Substanz gewonnen hat.)
